是in the next week还是on the next week,。

是in the next week还是on the next week

是是in the next week不是on the next week，因为介词on只能用在表示日，节日，星期几，上，下午，晚上的时间名词，in接一段时间表将来时间。中文意思是，在下周后，在下一周

You should receive (a) notification of our decision in the next week.

关于我们的决定，下周你会接到通知。

are you free next weekend?这个表达时态有问题吗

没有。
Are you free  next weekend？是典型的一般将来时，具体内容如下。

一般将来时表示将来某一时段的动作或状态，或将来某一段时间内经常的动作或状态。在英语时态中，"时"指动作发生的时间，"态"指动作的样子和状态。

一般将来时常常和表示将来的时间状语连用。如:tomorrow(明天)， next week(下周 );in the future(将来);in a year(一年以后)等。 一般将来时由助动词shall(第一人称)，will(所有人称) 动词原形构成。美式英语则不管什么人称，一律用will。或用主语+am/is/are + going to + 动词(be going to)。